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“知乎杯”2018 CCF 大学生计算机系统与程序设计竞赛 贪心算法（greedy）

IP云
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贪心算法

1）题解

•        分别用V0、V1和V>=2表示度为0、1以及至少为2的顶点集合

•        对于每个顶点，维护三个属性：

•        degree 邻居的个数

•        degree2 邻居中度为2的顶点数

•        id     编号

Pseudo-code

•        initialize V0, V1, V>=2 and (degree, degree2, id) of each node

•        while G is not empty

•        if V0 is not empty

•        choose v ∈ V0 with the smallest id

•        output v, delete v from V0 and G

•        else if V1 is not empty

•        choose v ∈ V1 with the smallest id, and find the neighbor u of v

•        output v, delete v from V0 and G, delete u from V1(or V>=2) and G

•        else

•        choose v ∈ V>=2 with the largest (degree, degree2, id)

•        delete v from V>=2 and G

索引的维护

•        需要注意的是，每个顶点的属性以及顶点集合V0、V1和V>=2并非一成不变。

•        当从图中删去某个顶点u时，u邻居的degree均会减一；如果u的degree恰好为2，那么u邻居的degree2也会减一。

•        如果某个邻居v的degree恰好从3减少到2或从2减到1，那么还会进一步影响到v的邻居的degree2属性。

•        对于那些degree减一的顶点，还需要相应地更新V0、V1和V>=2。

Delete Node u from G

•        for v ∈ Neighbor(u)

•        v.degree decreases by one

•        if u.degree == 2 then v.degree2 decreases by one

•        if v.degree == 0

•        move v from V1 to V0

•        else if v.degree == 1

•        move v from V>=2 to V1

•        find the only neighbor w of v

•        w.degree2 decreases by one

•        else if v.degree == 2

•        for w ∈ Neighbor(v) do w.degree2 increases by one

2）复杂度分析

V0和V1 {node_id}

•        插入、删除顶点，但每个顶点最多一次；

•        查询id最小的顶点。

•        顶点数量O(N)

•        插入删除操作次数O(N)

•        查询最值次数O(N)

V>=2   {<node_id, value>}

•        初始化之后不会再插入顶点；

•        删除顶点，每个最多一次；

•        查询属性值最大的顶点；

•        修改一个点的属性值。

•        顶点数量O(N)

•        删除操作次数O(N)

•        查询最值次数O(N)

•        修改属性次数O(M)

3）可以使用的数据结构

•        堆、线段树、平衡树等等……

•        增、删、改、查都可以在O(logN)复杂度内完成

•        时间复杂度：O((N+M)logN)

•        懒得敲一个的话就用经济实惠的priority_queue好了。虽然不能直接进行删除或修改，但可以用懒更新的方式解决。即等到取用最值的时候，再判断该顶点是否已经被删除或属性已经被修改过了。

#include<queue>
#include<cstdio>
const int N=1e5+;
const int M=N*;
template <typename T>
inline void read(T &x){
T f=;char ch=getchar();x=;
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
x*=f;
}
struct node{
int id,degree,nxt2;
node(int id=,int degree=,int nxt2=):id(id),degree(degree),nxt2(nxt2){}
bool operator <(const node &a){ // id < nxt2 < degree
return degree!=a.degree?degree<a.degree:nxt2!=a.nxt2?nxt2<a.nxt2:id<a.id;
}
}b[N];
template<class nodeT>
struct segtree{
int n;nodeT* a;
segtree(){}
segtree(int _n,const nodeT* b):n(_n){
a=new nodeT[n<<|];
build(,,n,b);
}
#define lch k<<1
#define rch k<<1|1
#define max(a,b) ((a)<(b)?b:a)
inline void updata(int k){
a[k]=max(a[lch],a[rch]);
}
void build(int k,int l,int r,const nodeT* b){
if(l==r){
a[k]=b[l];
return ;
}
int mid=l+r>>;
build(lch,l,mid,b);
build(rch,mid+,r,b);
updata(k);
}
void change(int k,int l,int r,int p,const nodeT &v){
if(l==r){
a[k]=v;
return ;
}
int mid=l+r>>;
if(p<=mid) change(lch,l,mid,p,v);
else change(rch,mid+,r,p,v);
updata(k);
}
inline void change(int p,const nodeT &v){
change(,,n,p,v);
}
inline void del(int p){
nodeT t(-,-,-);
change(,,n,p,t);
}
inline nodeT& query(){
return a[];
}
#undef lch
#undef rch
#undef max(a,b)
};
int cnt,ans[N];
int n,m,tot,to[M],next[M],head[N],degree[N];int del[N];
std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int> >q0,q1;
inline void add(int x,int y){
to[++tot]=y;next[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
add(x,y);degree[x]++;
add(y,x);degree[y]++;
}
inline void Erase(int u,segtree<node> &tree){
del[u]=;
tree.del(u);
for(int j=head[u],v;j;j=next[j]){
if(del[v=to[j]]) continue;
b[v].degree--;
if(b[u].degree==) b[v].nxt2--;
tree.change(v,b[v]);
if(b[v].degree==||b[v].degree==){
for(int k=head[v],w;k;k=next[k]){
if(del[w=to[k]]) continue;
b[w].nxt2+=b[v].degree*-;
tree.change(w,b[w]);
}
}
if(b[v].degree==) q0.push(v);
if(b[v].degree==) q1.push(v);
}
}
inline void Init(){
read(n);read(m);
for(int i=,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),addedge(x,y);
}
inline void Solve(){
for(int i=;i<=n;i++) b[i].id=i,b[i].degree=degree[i],b[i].nxt2=;
for(int i=;i<=n;i++){
if(degree[i]==){
for(int j=head[i];j;j=next[j]){
b[to[j]].nxt2++;
}
}
}
segtree<node> tree(n,b);
for(int i=;i<=n;i++){
if(!degree[i]){
del[i]=;
tree.del(i);
ans[++cnt]=i;
}else if(degree[i]==) q1.push(i);
}
for(int u,v;;){
if(!q0.empty()){
u=q0.top();q0.pop();
if(del[u]) continue;
del[u]=;
tree.del(u);
ans[++cnt]=u;
}
else if(!q1.empty()){
u=q1.top();q1.pop();
if(del[u]) continue;
for(int i=head[u];i;i=next[i]) if(!del[v=to[i]]) break;
Erase(u,tree);
Erase(v,tree);
ans[++cnt]=u;
}
else{
int tid=tree.query().id;
if(~tid) Erase(tid,tree);else break;
}
}
for(int i=;i<=cnt;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
int main(){
freopen("greedy.in","r",stdin);
freopen("greedy.out","w",stdout);
Init();
Solve();
return ;
}