[机器学习Lesson4]多元线性回归

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1. 多元线性回归定义

在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。

我们现在介绍方程的符号，我们可以有任意数量的输入变量。

这些多个特征的假设函数的多变量形式如下：

hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+⋯+θnxn

为了开发这个功能，我们可以想一想，θ0作为房子的基本价格，θ1每平方米的价格，θ2每层楼的价格，等X1将在房子的平方米数，x2楼层数，等等。

利用矩阵乘法的定义，我们的多变量假设函数可以简洁地表示为：

这是对一个训练例子的假设函数的矢量化。

备注：为了方便的原因，在这个过程中我们假设X(i)0 = 1（i∈1，…，m）。这允许我们做矩阵运算与θ和X使两向量的θ和X(i)互相匹配元素（即有相同数目的元素：N + 1）]。

2. 梯度下降

下面我们使用梯度下降法来解决多特征的线性回归问题。

Hypothesis: 假设假设现有多元线性回归并约定x0=1。
Parameters: 该模型的参数是从θ0 到θn。不要认为这是 n+1 个单独的参数。你可以把这 n+1 个 θ 参数想象成一个 n+1 维的向量 θ。所以，现在就可以把这个模型的参数想象成其本身就是一个 n+1 维的向量。
Cost function: 我们的代价函数是从 θ0 到 θn 的函数 J，并给出了误差项平方的和。但同样地，不要把函数 J想成是一个关于 n+1 个自变量的函数，而是看成带有一个 n+1 维向量的函数。
Gradient descent(梯度下降): 我们将会不停地用 θj 减去 α 倍的导数项,来替代 θj 同样的方法。我们写出函数J(θ) 因此 θj 被更新成 θj 减去学习率 α 与对应导数的乘积就是代价函数的对参数 θj 的偏导数。

2.1 当特征 n=1 时

我们有两条针对参数 θ0 和 θ1 不同的更新规则。①处是代价函数里部分求导的结果，是代价函数相对于 θ0 的偏导数。同样，对参数 θ1 我们有另一个更新规则仅有的一点区别是：当我们之前只有一个特征，我们称该特征为x(i)。但现在我们在新符号里，我们会标记它为 x 上标 (i) 下标1来表示我们的特征。以上就是当我们仅有一个特征时候的算法。

2.2 当有一个以上特征时

现有数目远大于1的很多特征,梯度下降更新规则变成了这样:

有些同学可能知道微积分,代价函数 J 对参数 θj 求偏导数（蓝线圈出部分），你将会得到多元线性回归的梯度下降算法。

新旧两种算法实际上是两个是类似的算法。为什么它们都是梯度下降算法？考虑这样一个情况：有两个或以上个数的特征，同时我们对θ1、θ2、θ3的三条更新规则，当然可能还有其它参数。如果你观察θ0的更新规则，你会发现这跟之前 n=1的情况相同。它们之所以是等价的这是因为在我们的标记约定里有 x(i)0=1，），也就红线圈起部分的两项是等价的。

同样地，如果你观察θ1的更新规则你会发现这里的这一项是和之前对参数θ1的更新项是等价的。在这里我们只是用了新的符号x(i)1来表示我们的第一个特征。现在我们有个更多的特征，那么就可以用与之前相同的更新规则，我们可以用同样的规则来处理 θ2 等其它参数。

3. Feature Scaling（特征缩放）

如果你有一个机器学习问题，这个问题有多个特征，如果你能确保这些特征都处在一个相近的范围，确保不同特征的取值在相近的范围内，这样梯度下降法就能更快地收敛。

3.1 介绍

假如你有一个具有两个特征的问题：其中，x1是房屋面积大小，它的取值在0到2000之间。x2是卧室的数量，可能这个值取值范围在1到5之间。如果你画出代价函数J(θ)的轮廓图，那么这个轮廓看起来应该是像下图这样的：

J(θ) 是一个关于参数 θ0 θ1 和 θ2 的函数（此处忽略 θ0 所以暂时不考虑θ0）。并假想一个函数的变量只有 θ1 和 θ2。但如果x1的取值范围远远大于x2的取值范围的话，那么最终画出来的代价函数J(θ)的轮廓图就会呈现出这样一种非常偏斜，并且椭圆的形状 2000 和 5的比例会让这个椭圆更加瘦长。所以，这是一个又瘦又高的椭圆形轮廓图就是这些非常高大细长的椭圆形构成了代价函数 J(θ) 。

而如果你用这个代价函数来运行梯度下降的话，你要得到梯度值，最终可能需要花很长一段时间并且可能会来回波动，然后会经过很长时间，最终才收敛到全局最小值。

可以想像，如果这些轮廓再被放大一些的话，如果你画的再夸张一些，把它画的更细更长，那么可能情况会更糟糕。梯度下降的过程可能更加缓慢，需要花更长的时间，反复来回振荡，最终才找到一条正确通往全局最小值的路。

在这样的情况下一种有效的方法是进行特征缩放(feature scaling) 。

具体来说，把特征x定义为房子的面积大小，除以2000；并且把x2定义为卧室的数量除以5。那么这样的话表示代价函数 J(θ) 的轮廓图的形状就会变得偏移没那么严重，可能看起来更圆一些了。

如果你用这样的代价函数来执行梯度下降的话，可以从数学上来证明，梯度下降算法就会找到一条更捷径的路径通向全局最小，而不是像刚才那样沿着一条让人摸不着头脑的路径，一条复杂得多的轨迹，来找到全局最小值。

因此，通过特征缩放，通过"消耗掉"这些值的范围，在这个例子中，我们最终得到的两个特征 x1 和 x2 都在0和1之间，这样你得到的梯度下降算法就会更快地收敛。

3.2 特征范围

我们执行特征缩放时，通常的目的是将特征的取值约束到-1到+1的范围内：

你的特征x0是总是等于1，因此这已经是在这个范围内。

但对其他的特征你可能需要通过除以不同的数来让它们处于同一范围内。-1 和 +1这两个数字并不是太重要，所以如果你有一个特征x1 它的取值在0和3之间，是没问题的。如果你有另外一个特征取值在-2 到 +0.5之间这也没什么关系，这也非常接近 -1 到 +1的范围，这些都可以。

但如果你有另一个特征，比如叫 x3 假如它的范围在 -100到+100之间，那么这个范围跟-1到+1就有很大不同了。所以这可能是一个不那么好的特征。类似地，如果你的特征在一个非常非常小的范围内，比如另外一个特征 x4 它的范围在 0.0001和+0.0001之间，那么这同样是一个比-1到+1小得多的范围。因此同样会认为这个特征也不太好。

所以，可能你认可的范围也许可以大于或者小于-1到+1，但是也别太大，只要大得不多就可以接受。比如 +100 或者也别太小，比如这里的0.001。不同的人有不同的经验。但是我一般是这么考虑的，如果一个特征是在 -3 到 +3 的范围内，那么你应该认为这个范围是可以接受的。但如果这个范围大于了-3到+3的范围，我可能就要开始注意了。如果它的取值在-1/3 到+1/3的话，我觉得还不错，可以接受。或者是0到1/3或-1/3到0，这些典型的范围，我都认为是可以接受的。但如果特征的范围取得很小的话，比如像这里的0.0001你就要开始考虑进行特征缩放了。

因此，总的来说不用过于担心你的特征是否在完全相同的范围或区间内，但是只要他们都只要它们足够接近的话，梯度下降法就会正常地工作。

3.3 Mean Normalization(均值归一化)

除了在特征缩放中将特征除以最大值以外，有时候我们也会进行一个称为均值归一化的工作(mean normalization) 。

如果你有一个特征 xi 你就用xi-μi来替换，通过这样做让你的特征值具有为0的平均值。我们不需要把这一步应用到x0中，因为x0总是等于1的，所以它不可能有为0的的平均值。但是对其他的特征来说，比如房子的大小，取值介于0到2000，并且假设房子面积的平均值是等于1000的。那么你可以用这个公式将x1的值变为，x1减去平均值μ1再除以2000。类似地，如果你的房子有五间卧室，并且平均一套房子有两间卧室，那么可以使用这个公式来归一化你的第二个特征x2。

在这两种情况下，你可以算出新的特征x1和x2这样它们的范围可以在-0.5和+0.5之间，当然这肯定不对。x2的值实际上肯定会大于0.5，但很接近。更一般的规律是你可以用这样的公式： (x1 - μ1)/S1来替换原来的特征x1。其中定义μ1的意思是：在训练集中：

x1：平均值
S1：特征值的范围（最大值减去最小值最大值减去最小值，或者学过标准差的同学可以记住也可以把S1设为变量的标准差，但其实用最大值减最小值就可以了）

类似地，对于第二个特征 x2 你也可以用同样的这个

特征减去平均值，再除以范围来替换原特征。范围的意思依然是最大值减最小值。这类公式将你的特征变成这样的范围，也许不是完全这样，但大概是这样的范围。

有些同学可能比较仔细，如果我们用最大值减最小值来表示范围的话。这里的5有可能应该是4 如果最大值为5，那么减去最小值1，这个范围值就是4 。但不管咋说，这些取值都是非常近似的，只要将特征转换为相近似的范围就都是可以的。

特征缩放其实并不需要太精确，只是为了让梯度下降能够运行得更快一点而已。

4. Learning Rate(学习效率)

这一章节我们来介绍如何选择学习率α 以及怎样确定梯度下降正常工作。

Debugging gradient descent（调试渐变下降）：用X轴上的迭代次数绘制一个图。现在小区的成本函数，J（θ）在梯度下降迭代次数。如果J（θ）不断增加，那么你可能需要减少α。
Automatic convergence test（自动收敛测试） ：如果该声明收敛（θ）小于E在一次迭代中减少，其中E是一些小的值，如10−3。然而，在实际应用中很难选择这个阈值。