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【51nod1073】约瑟夫环1
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题目大意:给定 \(N\) 个人围成一个圈,每隔 \(M\) 个人杀一个,求最后活着的人的编号。
题解:环会涉及模运算,所以先将 \(1 \rightarrow N\) 映射为 \(0 \rightarrow N-1\),且报数从 \(0\) 开始,即:报数到 \(m-1\) 的人会被杀掉。假设已知 \(N-1\) 人时剩下的人的编号为 \(x\),如何求得 \(N\) 个人时活着的人的编号是问题的关键。现在逆向考虑问题,即:游戏第一次杀人后的子问题和原问题之间的关系。假设第一次报数时,编号为 \(k-1\) 的人被杀,则第 \(k\) 个人到第 \(k-2\) 个人组成的新环恰好构成了一个 \(N-1\) 个人的子问题,且 \(k \rightarrow 0,k-2 \rightarrow n-2\)。可知,\(f[i]=(f[i-1]+k)\% i\),其中 \(k=m\% n\) 。因此,最后的递推公式为:\(f[i]=(f[i-1]+m)\% i,f[1]=0\)。
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int n,m,f[maxn];
void solve(){
f[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=(f[i-1]+m)%i;
printf("%d\n",f[n]+1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
solve();
return 0;
}