2017多校Round7(hdu6120~hdu6132)

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补题进度：9/13

1001

待填坑

1002（数学推导）

题意

有一个按顺序的n个点的k叉树，问每个点子树个数的异或和是多少（n,k<=1e18）

分析

可以先求出最大的d，满足d以上都是满K叉树，最后一层是一些零散的点

然后枚举每一层，每一层的点分为三种，一种是最下面的孩子深度是d+1，一种是部分孩子的深度是d+1，一种是最下面孩子深度都是d，分别统计答案

注意特判k=1的时候，这个时候等价于求1^2^3^4^5^6....^n的值

我们可以把四个四个放在一组，如果k是一个偶数，那么k^(k+1)=1，(k+2)^(k+3)=1，所以k^(k+1)^(k+2)^(k+3)=1^1=0

所以1异或到n的值是和n%4的值有关

1003（神奇套路）

题意

有一个n行m列的棋盘，最初每个位置是指定的红色或蓝色或白色。你要将白色的位置染成红色或蓝色，使得对于任意一个长宽均为偶数的连续子棋盘，其中红色和蓝色的位置数相等。(1<=m,n<=1000)

分析

题解给出了很神奇的套路

首先“任意一个长宽均为偶数的连续子棋盘”，我们只需要考虑边长为2的小棋盘，边长为4、6、8的这些都是若干个2*2的拼起来的

我们设红色是0，蓝色是1，对于棋盘上的(x,y)，如果x+y是奇数并且该位置不是?，那么就把这一位置颜色反转

我们发现原来任意一个2*2的子棋盘合法等价于现在新的任意一个2*2的子棋盘对角线上的和相同

进一步发现这等价于：要么新棋盘的每一行上的数都各自相同，要么新棋盘的每一列上的数都各自相同

于是就可以计算答案了

具体实现的时候，我们可以记录每一行、每一列的颜色占用情况，如果发现同一行出现了两种固定颜色，那么说明每一行颜色各自相同这个是不可能的了；列的情况也是同理

最后计算结果就是2^自由行个数 + 2^自由列个数，但是要除去一些重复情况，如果固定颜色中只出现了一种，那么最终答案需要减去一；如果固定颜色两种都没出现，那么答案要减去二

1004

待填坑

1005（数学题）

题意

给定正整数a，求对于所有正整数b，a mod b有多少种可能的结果。1<=a<=1e9

分析

显然小于a/2的所有数c都可以作为结果，只需要取b=a-c，另外a本身也可以

所以答案就是(a-1)/2+2

1006（状压DP）

题意

求从不大于n的所有正整数中选出至少1个且至多k个使得乘积不包含平方因子的方案数(1<=n,k<=500)

分析

此套路出自于NOI2015寿司晚宴

我们可以把它看做一个背包问题，我们将500以内所有质因数都压缩成二进制位，然后就相当于有500个物品，取或者不取，取了的话要保证质因数集合每个位不能超过1

但是问题是500以内的素数有90多个，无法压缩成二进制位

我们可以将sqrt(500)以内的素数压缩成二进制位(8个)，为什么这样呢？因为1~500里的所有数字，其大于sqrt(500)的质因数顶多只有一个

于是对于1~500以内所有素数我们都可以把它看做一个包，对于1~500内的所有无平方因子数x，我们都可以求出其最大质因数y，把x对于前8个素数的分解情况丢入背包y种，把这个作为背包y中的一个物品

特别的，如果2*3*5这种全部是由前8个素数乘积构成的数，那就丢到其本身的那个背包

现在问题就相当于是有若干个背包，每个背包里的物品我只能选一个（因为如果多选会造成该较大质因子重复），然后求前八个素数分解情况不冲突的方案数

很经典的分组背包了，dp[i][s][k]表示前i个包，目前前8个素数选择情况为s，选了k个数的方案数

第一维滚动掉即可

1007（网络流）

题意

有n个小朋友，标号为1到n，你要给每个小朋友至少1个且至多m个的糖果。小朋友们共提出k个要求，每个要求包括三个整数x,y,z表示x号小朋友得到的糖果数减去y号小朋友得到的糖果数，结果应当不大于z。如果你给i号小朋友j颗糖果，他会获得w(i,j)的满意度，你需要最大化所有小朋友的满意度和。1<=n,m<=50,1<=k<=150,1<=w(i,j)<=1000

分析

来自题解的建图方法。

容易想到拆点，用i.j这点表示给第i个孩子至少j块糖，当这个点属于S集合时所代表条件成立。然后i.j->i.j+1连1000-wi,j，i.m向T连1000-wi,m，S向i.1连inf。如果存在ax-ay>=z，x.k->y.k+z连inf。跑最小割，再用n*1000减掉答案。

1008（计算几何）

题意

平面直角坐标系上有n个整点，第i个点有一个点权val[i],坐标是(xi,yi)，其中不存在任意两点连成的直线经过原点。这些整点两两之间连有一条线段，线段的权值为其两端点的权值之积。你需要作一条过原点而不过任意一个给定整点的直线，使得和这条直线相交的线段的权值和最大。1<=n<=5e4,1<=val<=10^4,|xi|,|yi|<=1e9

分析

很容易想到极角排序，答案的统计就是直线两边点集权值和的乘积，所以O(n)扫一圈就可以了

注意的一点是直线从-π到π的过程中，直线的另一边可能从第二象限跳到第三象限，所以提前将前n个点接到第n个点后面，极角+2π

1009（二次剩余）

队友补了，不管了

1010（找规律）

题意

有一个长度为n的整数序列an，对其做m次前缀异或和，求最终的序列(1<=n<=2e5,1<=m<=1e9)

分析

dp[i][j]=dp[i-1][j]^dp[i][j-1]=dp[i-2][j]^dp[i-1][j-1]^dp[i-1][j-1]^dp[i][j-2]=dp[i-2][j]^dp[i][j-2]

进一步归纳可以得到dp[i][j]=dp[i-2^k][j]^dp[i][j-2^k]

这只需要从1~m倍增就行了