BZOJ 4174 tty的求助 莫比乌斯反演

题目大意：求∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk+xm⌋ mod 998244353

如果n和m都已经确定了。如今要求这坨玩应：

∑m−1k=0⌊nk+xm⌋

=∑m−1k=0(⌊nk%m+xm⌋+nk−nk%mm)

=∑m−1k=0(⌊nk%m+xm⌋+nkm−nk%mm)

我们一项一项考虑

令d=gcd(n,m)，那么有

∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋

=d∗∑md−1k=0⌊kd+xm⌋

=d∗(md∗x−x%mm+∑md−1k=0⌊kd+x%mm⌋)

=d∗(md∗x−x%mm+∑md−1k=0[kd+x%m≥m])

=d∗(x−x%md+⌊x%md⌋)

=d∗⌊xd⌋

∑m−1k=0nkm=nm∗m∗(m−1)2=n∗m−n2

∑m−1k=0nk%mm=d∗∑md−1k=0kdm=d2m∗(md−1)∗md2=m−d2

故答案为

∑Nn=1∑Mm=1(d∗⌊xd⌋+n∗m−n2−m−d2)

=12∗∑Nn=1∑Mm=1(2∗d∗⌊xd⌋+d+n∗m−n−m)

=12∗(S(N)∗S(M)−S(N)∗m−S(M)∗n+∑min(N,M)d=1(d+2∗d∗⌊xd⌋)∑min(⌊Nd⌋,⌊Md⌋)k=1μ(k)∗⌊Nd∗k⌋∗⌊Md∗k⌋)

当中S(n)=n∗(n+1)2

然后O(nlogn)枚举d和k就可以

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define M 500500

#define MOD 998244353

using namespace std;

int n,m,x;

long long ans;

int mu[M];

int prime[M],tot;

bool not_prime[M];

void Linear_Shaker()

{

    int i,j;

    mu[1]=1;

    for(i=2;i<=500000;i++)

    {

        if(!not_prime[i])

        {

            prime[++tot]=i;

            mu[i]=MOD-1;

        }

        for(j=1;prime[j]*i<=500000;j++)

        {

            not_prime[prime[j]*i]=true;

            if(i%prime[j]==0)

            {

                mu[prime[j]*i]=0;

                break;

            }

            mu[prime[j]*i]=(MOD-mu[i])%MOD;

        }

    }

}

long long Sum(long long n)

{

    return (n*(n+1)>>1)%MOD;

}

int main()

{

    int i,j;

    cin>>n>>m>>x;

    Linear_Shaker();

    ans=((Sum(n)*Sum(m)-Sum(n)*m-Sum(m)*n)%MOD+MOD)%MOD;

    if(n>m) swap(n,m);

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        long long temp=i+x/i*i*2;

        for(j=1;j*i<=n;j++)

            (ans+=temp*mu[j]%MOD*(n/i/j)%MOD*(m/i/j)%MOD)%=MOD;

    }

    cout<<(ans*(MOD+1>>1)%MOD)<<endl;

    return 0;

}