重拾算法之复杂度分析（大O表示法）

小程序：扫一扫查出行
【扫一扫了解最新限行尾号】
复制小程序

.output_wrapper pre code{font-family: Consolas, Inconsolata, Courier, monospace; display: block !important; white-space: pre !important; word-wrap: normal !important; word-break: normal !important; overflow: auto !important;}
.output_wrapper a:hover { text-decoration: underline; color: rgb(0, 96, 100); }
.output_wrapper figcaption { margin-top: 10px; text-align: center; color: rgb(153, 153, 153); font-size: 0.7em; }
.output_wrapper pre code .linenum { padding-right: 20px; word-spacing: 0px; }
.task-list-list { list-style-type: none; }
.task-list-list.checked { color: rgb(62, 62, 62); }
.task-list-list.uncheck { color: rgb(191, 193, 191); }
.task-list-list .icon_uncheck, .task-list-list .icon_check { display: inline-block; vertical-align: middle; margin-right: 10px; }
.task-list-list .icon_check::before { content: "√"; border: 2px solid rgb(62, 62, 62); color: red; }
.task-list-list .icon_uncheck::before { content: "x"; border: 2px solid rgb(191, 193, 191); color: rgb(191, 193, 191); }
.task-list-list .icon_check::before, .task-list-list .icon_uncheck::before { padding: 2px 8px 2px 5px; border-radius: 5px; }
@font-face { font-family: KaTeX_AMS; src: url("fonts/KaTeX_AMS-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_AMS-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_AMS-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Caligraphic; src: url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Bold.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Bold.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Bold.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Caligraphic; src: url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Caligraphic-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Fraktur; src: url("fonts/KaTeX_Fraktur-Bold.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Fraktur-Bold.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Fraktur-Bold.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Fraktur; src: url("fonts/KaTeX_Fraktur-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Fraktur-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Fraktur-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Main; src: url("fonts/KaTeX_Main-Bold.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Main-Bold.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Main-Bold.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Main; src: url("fonts/KaTeX_Main-BoldItalic.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Main-BoldItalic.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Main-BoldItalic.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: italic; }
@font-face { font-family: KaTeX_Main; src: url("fonts/KaTeX_Main-Italic.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Main-Italic.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Main-Italic.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: italic; }
@font-face { font-family: KaTeX_Main; src: url("fonts/KaTeX_Main-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Main-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Main-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Math; src: url("fonts/KaTeX_Math-BoldItalic.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Math-BoldItalic.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Math-BoldItalic.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: italic; }
@font-face { font-family: KaTeX_Math; src: url("fonts/KaTeX_Math-Italic.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Math-Italic.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Math-Italic.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: italic; }
@font-face { font-family: KaTeX_SansSerif; src: url("fonts/KaTeX_SansSerif-Bold.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Bold.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Bold.ttf") format("truetype"); font-weight: bold; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_SansSerif; src: url("fonts/KaTeX_SansSerif-Italic.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Italic.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Italic.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: italic; }
@font-face { font-family: KaTeX_SansSerif; src: url("fonts/KaTeX_SansSerif-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_SansSerif-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Script; src: url("fonts/KaTeX_Script-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Script-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Script-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Size1; src: url("fonts/KaTeX_Size1-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Size1-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Size1-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Size2; src: url("fonts/KaTeX_Size2-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Size2-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Size2-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Size3; src: url("fonts/KaTeX_Size3-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Size3-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Size3-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Size4; src: url("fonts/KaTeX_Size4-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Size4-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Size4-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@font-face { font-family: KaTeX_Typewriter; src: url("fonts/KaTeX_Typewriter-Regular.woff2") format("woff2"), url("fonts/KaTeX_Typewriter-Regular.woff") format("woff"), url("fonts/KaTeX_Typewriter-Regular.ttf") format("truetype"); font-weight: normal; font-style: normal; }
@media screen {
.katex .mtable .vertical-separator { min-width: 1px; }
.katex .mfrac .frac-line, .katex .overline .overline-line, .katex .underline .underline-line, .katex .hline, .katex .hdashline, .katex .rule { min-height: 1px; }
}
.katex-display { display: block; margin: 1em 0px; text-align: center; }
.katex-display > .katex { display: block; text-align: center; white-space: nowrap; }
.katex-display > .katex > .katex-html { display: block; }
.katex-display > .katex > .katex-html > .tag { position: absolute; right: 0px; }
.katex { font: 1.21em/1.2 KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-indent: 0px; text-rendering: auto; }
.katex * { }
.katex .katex-mathml { position: absolute; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); padding: 0px; border: 0px; height: 1px; width: 1px; overflow: hidden; }
.katex .katex-html { }
.katex .katex-html > .newline { display: block; }
.katex .base { position: relative; display: inline-block; white-space: nowrap; width: min-content; }
.katex .strut { display: inline-block; }
.katex .textbf { font-weight: bold; }
.katex .textit { font-style: italic; }
.katex .textrm { font-family: KaTeX_Main; }
.katex .textsf { font-family: KaTeX_SansSerif; }
.katex .texttt { font-family: KaTeX_Typewriter; }
.katex .mathit { font-family: KaTeX_Math; font-style: italic; }
.katex .mathrm { font-style: normal; }
.katex .mathbf { font-family: KaTeX_Main; font-weight: bold; }
.katex .boldsymbol { font-family: KaTeX_Math; font-weight: bold; font-style: italic; }
.katex .amsrm { font-family: KaTeX_AMS; }
.katex .mathbb, .katex .textbb { font-family: KaTeX_AMS; }
.katex .mathcal { font-family: KaTeX_Caligraphic; }
.katex .mathfrak, .katex .textfrak { font-family: KaTeX_Fraktur; }
.katex .mathtt { font-family: KaTeX_Typewriter; }
.katex .mathscr, .katex .textscr { font-family: KaTeX_Script; }
.katex .mathsf, .katex .textsf { font-family: KaTeX_SansSerif; }
.katex .mainit { font-family: KaTeX_Main; font-style: italic; }
.katex .mainrm { font-family: KaTeX_Main; font-style: normal; }
.katex .vlist-t { display: inline-table; table-layout: fixed; }
.katex .vlist-r { display: table-row; }
.katex .vlist { display: table-cell; vertical-align: bottom; position: relative; }
.katex .vlist > span { display: block; height: 0px; position: relative; }
.katex .vlist > span > span { display: inline-block; }
.katex .vlist > span > .pstrut { overflow: hidden; width: 0px; }
.katex .vlist-t2 { margin-right: -2px; }
.katex .vlist-s { display: table-cell; vertical-align: bottom; font-size: 1px; width: 2px; min-width: 2px; }
.katex .msupsub { text-align: left; }
.katex .mfrac > span > span { text-align: center; }
.katex .mfrac .frac-line { display: inline-block; width: 100%; border-bottom-style: solid; }
.katex .mspace { display: inline-block; }
.katex .llap, .katex .rlap, .katex .clap { width: 0px; position: relative; }
.katex .llap > .inner, .katex .rlap > .inner, .katex .clap > .inner { position: absolute; }
.katex .llap > .fix, .katex .rlap > .fix, .katex .clap > .fix { display: inline-block; }
.katex .llap > .inner { right: 0px; }
.katex .rlap > .inner, .katex .clap > .inner { left: 0px; }
.katex .clap > .inner > span { margin-left: -50%; margin-right: 50%; }
.katex .rule { display: inline-block; border: 0px solid; position: relative; }
.katex .overline .overline-line, .katex .underline .underline-line, .katex .hline { display: inline-block; width: 100%; border-bottom-style: solid; }
.katex .hdashline { display: inline-block; width: 100%; border-bottom-style: dashed; }
.katex .sqrt > .root { margin-left: 0.277778em; margin-right: -0.555556em; }
.katex .sizing, .katex .fontsize-ensurer { display: inline-block; }
.katex .sizing.reset-size1.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size1 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size1.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size2 { font-size: 1.2em; }
.katex .sizing.reset-size1.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size3 { font-size: 1.4em; }
.katex .sizing.reset-size1.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size4 { font-size: 1.6em; }
.katex .sizing.reset-size1.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size5 { font-size: 1.8em; }
.katex .sizing.reset-size1.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size6 { font-size: 2em; }
.katex .sizing.reset-size1.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size7 { font-size: 2.4em; }
.katex .sizing.reset-size1.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size8 { font-size: 2.88em; }
.katex .sizing.reset-size1.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size9 { font-size: 3.456em; }
.katex .sizing.reset-size1.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size10 { font-size: 4.148em; }
.katex .sizing.reset-size1.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size1.size11 { font-size: 4.976em; }
.katex .sizing.reset-size2.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size1 { font-size: 0.833333em; }
.katex .sizing.reset-size2.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size2 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size2.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size3 { font-size: 1.16667em; }
.katex .sizing.reset-size2.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size4 { font-size: 1.33333em; }
.katex .sizing.reset-size2.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size5 { font-size: 1.5em; }
.katex .sizing.reset-size2.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size6 { font-size: 1.66667em; }
.katex .sizing.reset-size2.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size7 { font-size: 2em; }
.katex .sizing.reset-size2.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size8 { font-size: 2.4em; }
.katex .sizing.reset-size2.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size9 { font-size: 2.88em; }
.katex .sizing.reset-size2.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size10 { font-size: 3.45667em; }
.katex .sizing.reset-size2.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size2.size11 { font-size: 4.14667em; }
.katex .sizing.reset-size3.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size1 { font-size: 0.714286em; }
.katex .sizing.reset-size3.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size2 { font-size: 0.857143em; }
.katex .sizing.reset-size3.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size3 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size3.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size4 { font-size: 1.14286em; }
.katex .sizing.reset-size3.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size5 { font-size: 1.28571em; }
.katex .sizing.reset-size3.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size6 { font-size: 1.42857em; }
.katex .sizing.reset-size3.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size7 { font-size: 1.71429em; }
.katex .sizing.reset-size3.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size8 { font-size: 2.05714em; }
.katex .sizing.reset-size3.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size9 { font-size: 2.46857em; }
.katex .sizing.reset-size3.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size10 { font-size: 2.96286em; }
.katex .sizing.reset-size3.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size3.size11 { font-size: 3.55429em; }
.katex .sizing.reset-size4.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size1 { font-size: 0.625em; }
.katex .sizing.reset-size4.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size2 { font-size: 0.75em; }
.katex .sizing.reset-size4.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size3 { font-size: 0.875em; }
.katex .sizing.reset-size4.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size4 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size4.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size5 { font-size: 1.125em; }
.katex .sizing.reset-size4.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size6 { font-size: 1.25em; }
.katex .sizing.reset-size4.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size7 { font-size: 1.5em; }
.katex .sizing.reset-size4.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size8 { font-size: 1.8em; }
.katex .sizing.reset-size4.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size9 { font-size: 2.16em; }
.katex .sizing.reset-size4.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size10 { font-size: 2.5925em; }
.katex .sizing.reset-size4.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size4.size11 { font-size: 3.11em; }
.katex .sizing.reset-size5.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size1 { font-size: 0.555556em; }
.katex .sizing.reset-size5.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size2 { font-size: 0.666667em; }
.katex .sizing.reset-size5.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size3 { font-size: 0.777778em; }
.katex .sizing.reset-size5.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size4 { font-size: 0.888889em; }
.katex .sizing.reset-size5.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size5 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size5.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size6 { font-size: 1.11111em; }
.katex .sizing.reset-size5.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size7 { font-size: 1.33333em; }
.katex .sizing.reset-size5.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size8 { font-size: 1.6em; }
.katex .sizing.reset-size5.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size9 { font-size: 1.92em; }
.katex .sizing.reset-size5.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size10 { font-size: 2.30444em; }
.katex .sizing.reset-size5.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size5.size11 { font-size: 2.76444em; }
.katex .sizing.reset-size6.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size1 { font-size: 0.5em; }
.katex .sizing.reset-size6.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size2 { font-size: 0.6em; }
.katex .sizing.reset-size6.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size3 { font-size: 0.7em; }
.katex .sizing.reset-size6.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size4 { font-size: 0.8em; }
.katex .sizing.reset-size6.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size5 { font-size: 0.9em; }
.katex .sizing.reset-size6.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size6 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size6.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size7 { font-size: 1.2em; }
.katex .sizing.reset-size6.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size8 { font-size: 1.44em; }
.katex .sizing.reset-size6.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size9 { font-size: 1.728em; }
.katex .sizing.reset-size6.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size10 { font-size: 2.074em; }
.katex .sizing.reset-size6.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size6.size11 { font-size: 2.488em; }
.katex .sizing.reset-size7.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size1 { font-size: 0.416667em; }
.katex .sizing.reset-size7.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size2 { font-size: 0.5em; }
.katex .sizing.reset-size7.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size3 { font-size: 0.583333em; }
.katex .sizing.reset-size7.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size4 { font-size: 0.666667em; }
.katex .sizing.reset-size7.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size5 { font-size: 0.75em; }
.katex .sizing.reset-size7.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size6 { font-size: 0.833333em; }
.katex .sizing.reset-size7.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size7 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size7.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size8 { font-size: 1.2em; }
.katex .sizing.reset-size7.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size9 { font-size: 1.44em; }
.katex .sizing.reset-size7.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size10 { font-size: 1.72833em; }
.katex .sizing.reset-size7.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size7.size11 { font-size: 2.07333em; }
.katex .sizing.reset-size8.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size1 { font-size: 0.347222em; }
.katex .sizing.reset-size8.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size2 { font-size: 0.416667em; }
.katex .sizing.reset-size8.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size3 { font-size: 0.486111em; }
.katex .sizing.reset-size8.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size4 { font-size: 0.555556em; }
.katex .sizing.reset-size8.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size5 { font-size: 0.625em; }
.katex .sizing.reset-size8.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size6 { font-size: 0.694444em; }
.katex .sizing.reset-size8.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size7 { font-size: 0.833333em; }
.katex .sizing.reset-size8.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size8 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size8.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size9 { font-size: 1.2em; }
.katex .sizing.reset-size8.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size10 { font-size: 1.44028em; }
.katex .sizing.reset-size8.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size8.size11 { font-size: 1.72778em; }
.katex .sizing.reset-size9.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size1 { font-size: 0.289352em; }
.katex .sizing.reset-size9.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size2 { font-size: 0.347222em; }
.katex .sizing.reset-size9.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size3 { font-size: 0.405093em; }
.katex .sizing.reset-size9.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size4 { font-size: 0.462963em; }
.katex .sizing.reset-size9.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size5 { font-size: 0.520833em; }
.katex .sizing.reset-size9.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size6 { font-size: 0.578704em; }
.katex .sizing.reset-size9.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size7 { font-size: 0.694444em; }
.katex .sizing.reset-size9.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size8 { font-size: 0.833333em; }
.katex .sizing.reset-size9.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size9 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size9.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size10 { font-size: 1.20023em; }
.katex .sizing.reset-size9.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size9.size11 { font-size: 1.43981em; }
.katex .sizing.reset-size10.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size1 { font-size: 0.24108em; }
.katex .sizing.reset-size10.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size2 { font-size: 0.289296em; }
.katex .sizing.reset-size10.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size3 { font-size: 0.337512em; }
.katex .sizing.reset-size10.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size4 { font-size: 0.385728em; }
.katex .sizing.reset-size10.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size5 { font-size: 0.433944em; }
.katex .sizing.reset-size10.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size6 { font-size: 0.48216em; }
.katex .sizing.reset-size10.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size7 { font-size: 0.578592em; }
.katex .sizing.reset-size10.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size8 { font-size: 0.694311em; }
.katex .sizing.reset-size10.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size9 { font-size: 0.833173em; }
.katex .sizing.reset-size10.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size10 { font-size: 1em; }
.katex .sizing.reset-size10.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size10.size11 { font-size: 1.19961em; }
.katex .sizing.reset-size11.size1, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size1 { font-size: 0.200965em; }
.katex .sizing.reset-size11.size2, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size2 { font-size: 0.241158em; }
.katex .sizing.reset-size11.size3, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size3 { font-size: 0.28135em; }
.katex .sizing.reset-size11.size4, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size4 { font-size: 0.321543em; }
.katex .sizing.reset-size11.size5, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size5 { font-size: 0.361736em; }
.katex .sizing.reset-size11.size6, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size6 { font-size: 0.401929em; }
.katex .sizing.reset-size11.size7, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size7 { font-size: 0.482315em; }
.katex .sizing.reset-size11.size8, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size8 { font-size: 0.578778em; }
.katex .sizing.reset-size11.size9, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size9 { font-size: 0.694534em; }
.katex .sizing.reset-size11.size10, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size10 { font-size: 0.833601em; }
.katex .sizing.reset-size11.size11, .katex .fontsize-ensurer.reset-size11.size11 { font-size: 1em; }
.katex .delimsizing.size1 { font-family: KaTeX_Size1; }
.katex .delimsizing.size2 { font-family: KaTeX_Size2; }
.katex .delimsizing.size3 { font-family: KaTeX_Size3; }
.katex .delimsizing.size4 { font-family: KaTeX_Size4; }
.katex .delimsizing.mult .delim-size1 > span { font-family: KaTeX_Size1; }
.katex .delimsizing.mult .delim-size4 > span { font-family: KaTeX_Size4; }
.katex .nulldelimiter { display: inline-block; width: 0.12em; }
.katex .delimcenter { position: relative; }
.katex .op-symbol { position: relative; }
.katex .op-symbol.small-op { font-family: KaTeX_Size1; }
.katex .op-symbol.large-op { font-family: KaTeX_Size2; }
.katex .op-limits > .vlist-t { text-align: center; }
.katex .accent > .vlist-t { text-align: center; }
.katex .accent .accent-body:not(.accent-full) { width: 0px; }
.katex .accent .accent-body { position: relative; }
.katex .overlay { display: block; }
.katex .mtable .vertical-separator { display: inline-block; margin: 0px -0.025em; border-right: 0.05em solid; }
.katex .mtable .vs-dashed { border-right: 0.05em dashed; }
.katex .mtable .arraycolsep { display: inline-block; }
.katex .mtable .col-align-c > .vlist-t { text-align: center; }
.katex .mtable .col-align-l > .vlist-t { text-align: left; }
.katex .mtable .col-align-r > .vlist-t { text-align: right; }
.katex .svg-align { text-align: left; }
.katex svg, .screenShotTempCanvas { display: block; position: absolute; width: 100%; height: inherit; fill: currentcolor; stroke: currentcolor; fill-rule: nonzero; fill-opacity: 1; stroke-width: 1; stroke-linecap: butt; stroke-linejoin: miter; stroke-miterlimit: 4; stroke-dasharray: none; stroke-dashoffset: 0; stroke-opacity: 1; }
.katex svg path { stroke: none; }
.katex .stretchy { width: 100%; display: block; position: relative; overflow: hidden; }
.katex .stretchy::before, .katex .stretchy::after { content: ""; }
.katex .hide-tail { width: 100%; position: relative; overflow: hidden; }
.katex .halfarrow-left { position: absolute; left: 0px; width: 50.2%; overflow: hidden; }
.katex .halfarrow-right { position: absolute; right: 0px; width: 50.2%; overflow: hidden; }
.katex .brace-left { position: absolute; left: 0px; width: 25.1%; overflow: hidden; }
.katex .brace-center { position: absolute; left: 25%; width: 50%; overflow: hidden; }
.katex .brace-right { position: absolute; right: 0px; width: 25.1%; overflow: hidden; }
.katex .x-arrow-pad { padding: 0px 0.5em; }
.katex .x-arrow, .katex .mover, .katex .munder { text-align: center; }
.katex .boxpad { padding: 0px 0.3em; }
.katex .fbox { box-sizing: border-box; border: 0.04em solid black; }
.katex .fcolorbox { box-sizing: border-box; border: 0.04em solid; }
.katex .cancel-pad { padding: 0px 0.2em; }
.katex .cancel-lap { margin-left: -0.2em; margin-right: -0.2em; }
.katex .sout { border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 0.08em; }
.output_wrapper .hljs{color: rgb(169, 183, 198); background: rgb(40, 43, 46); display: block; overflow-x: auto; padding: 0.5em;}

.output_wrapper .hljs-params{color: rgb(255, 152, 35);}

.output_wrapper .hljs-number,.output_wrapper .hljs-literal,.output_wrapper .hljs-symbol,.output_wrapper .hljs-bullet{color: rgb(174, 135, 250);}

.output_wrapper .hljs-function,.output_wrapper .hljs-built_in,.output_wrapper .hljs-name,.output_wrapper .hljs-keyword,.output_wrapper .hljs-selector-tag,.output_wrapper .hljs-deletion{color: rgb(248, 35, 117);}

.output_wrapper .hljs-variable,.output_wrapper .hljs-template-variable,.output_wrapper .hljs-link{color: rgb(98, 151, 85);}

.output_wrapper .hljs-comment,.output_wrapper .hljs-quote{color: rgb(128, 128, 128);}

.output_wrapper .hljs-meta{color: rgb(91, 218, 237);}

.output_wrapper .hljs-string,.output_wrapper .hljs-attribute,.output_wrapper .hljs-addition{color: rgb(238, 220, 112);}

.output_wrapper .hljs-attr,.output_wrapper .hljs-section,.output_wrapper .hljs-title,.output_wrapper .hljs-type{color: rgb(165, 218, 45);}

.output_wrapper .hljs-selector-class{color: rgb(165, 218, 45);}

.output_wrapper .hljs-emphasis{font-style: italic;}

.output_wrapper .hljs-strong{font-weight: bold;}

.output_wrapper pre code {line-height: 15px; font-size: 11px; font-weight: normal; word-spacing: -3px; letter-spacing: 0px;}
.output_wrapper{font-size: 16px; color: rgb(62, 62, 62); line-height: 1.6; word-spacing: 0px; letter-spacing: 0px; font-family: "Helvetica Neue", Helvetica, "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei", Arial, sans-serif;}

.output_wrapper *{font-size: inherit; color: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px;}

.output_wrapper p{margin: 1.5em 0px;}

.output_wrapper h1,.output_wrapper h2,.output_wrapper h3,.output_wrapper h4,.output_wrapper h5,.output_wrapper h6{margin: 1.5em auto; font-weight: 500; color: rgb(0, 200, 83); text-align: center;}

.output_wrapper h1{font-size: 1.6em;}

.output_wrapper h2{font-size: 1.4em;}

.output_wrapper h3{font-size: 1.3em;}

.output_wrapper h4{font-size: 1.2em;}

.output_wrapper h5{font-size: 1em;}

.output_wrapper h6{font-size: 1em;}

.output_wrapper ul,.output_wrapper ol{padding-left: 32px;}

.output_wrapper ul{list-style-type: disc;}

.output_wrapper ol{list-style-type: decimal;}

.output_wrapper li *{}

.output_wrapper li{margin-bottom: 0.5em;}

.output_wrapper .code_size_default{line-height: 18px; font-size: 14px; font-weight: normal; word-spacing: 0px; letter-spacing: 0px;}

.output_wrapper .code_size_tight{line-height: 15px; font-size: 11px; font-weight: normal; word-spacing: -3px; letter-spacing: 0px;}

.output_wrapper pre code{font-family: Consolas, Inconsolata, Courier, monospace; border-radius: 0px;}

.output_wrapper blockquote{display: block; padding: 15px 15px 15px 1rem; font-size: 0.9em; margin: 1em 0px; color: rgb(129, 145, 152); border-left: 6px solid rgb(220, 230, 240); background: rgb(242, 247, 251); overflow: auto; overflow-wrap: normal; word-break: normal;}

.output_wrapper blockquote p{margin: 0px;}

.output_wrapper a{text-decoration: none; color: rgb(30, 107, 184); overflow-wrap: break-word;}

.output_wrapper strong{font-weight: bold;}

.output_wrapper em{font-style: italic;}

.output_wrapper del{font-style: italic;}

.output_wrapper strong em{font-weight: bold;}

.output_wrapper hr{height: 1px; margin: 1.5rem 0px; border-right: none; border-bottom: none; border-left: none; border-image: initial; border-top: 1px dashed rgb(165, 165, 165);}

.output_wrapper code{overflow-wrap: break-word; padding: 2px 4px; border-radius: 4px; margin: 0px 2px; color: rgb(233, 105, 0); background: rgb(248, 248, 248);}

.output_wrapper img{display: block; margin: 0px auto; max-width: 100%;}

.output_wrapper figcaption{margin-top: 10px; text-align: center; color: rgb(153, 153, 153); font-size: 0.7em;}

.output_wrapper table{display: table; width: 100%; text-align: left;}

.output_wrapper tbody{border: 0px;}

.output_wrapper table tr{border-width: 1px 0px 0px; border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial; border-image: initial; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(204, 204, 204); background-color: white;}

.output_wrapper table tr th,.output_wrapper table tr td{font-size: 1em; border: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding: 0.5em 1em; text-align: left;}

.output_wrapper table tr th{font-weight: bold; background-color: rgb(240, 240, 240);}

.output_wrapper .katex-display{font-size: 1.22em;}

.output_wrapper .katex{padding: 8px 3px;}

.output_wrapper .katex-display > .katex{display: inline-block; text-align: center; padding: 3px;}

.output_wrapper .katex img{display: inline-block; vertical-align: middle;}

.output_wrapper a[href^="#"] sup{vertical-align: super; margin: 0px 2px; padding: 1px 3px; color: rgb(255, 255, 255); background: rgb(102, 102, 102); font-size: 0.7em;}

.output_wrapper .task-list-list{list-style-type: none;}

.output_wrapper .task-list-list.checked{color: rgb(62, 62, 62);}

.output_wrapper .task-list-list.uncheck{color: rgb(191, 193, 191);}

.output_wrapper .task-list-list .icon_uncheck,.output_wrapper .task-list-list .icon_check{display: inline-block; vertical-align: middle; margin-right: 10px;}

.output_wrapper .task-list-list .icon_check::before{content: "√"; border: 2px solid rgb(62, 62, 62); color: red;}

.output_wrapper .task-list-list .icon_uncheck::before{content: "x"; border: 2px solid rgb(191, 193, 191); color: rgb(191, 193, 191);}

.output_wrapper .task-list-list .icon_check::before,.output_wrapper .task-list-list .icon_uncheck::before{padding: 2px 8px 2px 5px; border-radius: 5px;}

.output_wrapper .toc{margin-left: 25px;}

.output_wrapper .toc_item{display: block;}

.output_wrapper .toc_left{margin-left: 25px;}

.output_wrapper .list{font-weight: bold;}

.output_wrapper .boldList{color: rgb(221, 44, 0);}
-->

body { width: 100%; margin: 0px; padding: 0px; }
#export_content { padding: 20px; background: rgb(255, 255, 255); }

在论坛里经常会看到一句话：学不会算法就去做网页开发。当然，从某种层面来看，前端对算法的要求确实不高，毕竟想写一个级联选择器会找到一大把的组件库。但是呢，算法又是一个优秀的工程师必须具备的的基础内功。程序员之间流传这么一句话：“一流程序员靠数学，二流靠算法，三流靠逻辑，四流靠SDK，五流靠Google和StackOverFlow，六流靠百度和CSDN。低端的看高端的就是黑魔法！”。对于面试一些大公司而言，尤其是国外的互联网企业，算法也是绕不过的一道坎。大学时买过一本很厚的算法书《算法导论》，翻开书当时就被里面的高等数学吓退了，后来也再也没看过。对于算法初学者来讲，看《算法导论》、《计算机程序设计艺术》这样的算法圣经不是很好的途径，所以我决定从一些简单的书籍像《算法图解》、《数学之美》以及王争（前google工程师）的付费专栏《数据结构与算法之美》开始算法学习，代码主要以javascript为主，可能会穿插C语言，如果有精力刷题，可能会加入一些我认为有趣的leetcode算法题。学习笔记也会在博客一直更新，希望能做一个相对完整的更新。

复杂度分析，会贯穿整个算法学习过程中。王争说，掌握了复杂度分析，就掌握了算法学习的一半。因此，今天我们来聊复杂度分析——大O复杂度表示法。

一个简单的公式

引用算法图解一个有趣的例子：Bob要写一个算法计算月球登陆前执行帮助计算着陆点的算法，他用两种算法：简单查找跟二分查找。假设查找一个元素要1ms，查找100的元素简单查找要100ms，二分查找只需要检查7个元素（ log2(7)），大概7ms。而如果要查找10亿个元素，用二分查找就是30ms左右，简单查找却要10亿毫秒。为什么会这样呢？因为两种算法运行时间的增速不同。在高中数学中学概率问题都是基于大量数据统计，同样，估算算法的执行效率，也是基于对运行时间与数据的渐进式增长的粗略分析，我们的大O表示法该登场了！

假设每个语句执行时间为t，则以下代码：

function sum (){
  let sum = 0;     /*执行时间t*/
  let i = 0;       /*执行时间t*/
  let j = 0;       /*执行时间t*/

  for(; i < n; i++){     /*执行时间n*t */
    j = 1;                        /*执行时间n*t*/
    for(; j < n; j++){   /*执行时间n的平方*t*/
      sum = sum + i * j;          /*执行时间n的平方*/
    }
  }
}

整段代码整的执行时间为： T(n) = (2n²+2n+3)*t ，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正相关！大O表示法计算的并不是代码的正式运行时间，而是代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，即时间复杂度。

时间复杂度分析

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

在分析代码复杂度的时候，只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以，如下代码：

 function cal(n) {
   let sum = 0;
   for (let i = 0; i <= n; i++) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

上述代码我们只需要关注for循环代码执行次数n，所以中的时间复杂度为O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

我们回到这篇文章的第一段代码，该代码中的执行时间为 T(n) = (2n²+2n+3)*t ，所以量级最大的那段代码运行时间为n的平方，则这段代码的时间复杂度为：O(n²).

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

function cal(n) {
   let ret = 0; 
   for (let i + 0; i < n; i++) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 

function f(n) {
  int sum = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
}

以上代码在cal函数中嵌套f函数，cal函数不看f，时间复杂度为O(n),f函数的时间复杂度为O(n),整个cal函数的时间复杂度为O(n²)。

常见的时间复杂度量级

1. O(1)

 let i = 8;        /*  时间复杂度： O(1)  */
 let j = 6;        /*  时间复杂度： O(1)  */
 let sum = i + j;  /*  时间复杂度： O(1)  */

2. O(logn)、O(nlogn)

 let i = 1;
 while (i < = n)  {
   i = i * 2;
 }

上述代码，当i = 1时，进入while后，i 赋值为2，下一次赋值为4，依次指数增长，那么他在while中执行的次数为log2（n），忽略系数，则时间复杂度为O(logn)。在排序中如归并排序，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

1. O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

上述代码的复杂度为 m + n。

4. O(n2)----选择排序

5. O(n！)
著名的旅行商问题，有一位旅行商，要去5个城市，要求找出路程总和最少的路线，我们只能把所有可能的路线可能5！= 120中方法算一遍来找出，这是计算机领域无最优解的问题。

空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。此处不做详细说明。

不同的大O运行时间

1. 最好情况时间复杂度与最坏时间复杂度

// n 表示数组 array 的长度
function find(array, n, x) {
  let pos = -1;
  for ( let i = 0; i < n; i++) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

在一个长度为n的数组中找一个数，如果在遍历第一次就找到，则时间复杂度为O(1),如果整个数组遍历了一遍，那么时间复杂度为O(n)。
最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间。最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间。

2. 平均情况时间复杂度

高中时，我们都学过数学期望，平均时间复杂度的实质就是数学期望。
以上代码中，查找X在数组中的位置有n+1中情况，即在0~n-1或者不在数组中，把查找的每种情况遍历的元素除以查找次数，就是遍历元素的平均值。

忽略系数，则时间复杂度为O(n)。但是，在概率统计中，查找元素时，要么可以查找到，要么差找不到，我们假设他们的概率各位一半，那么计算如下：

最终得到的时间复杂度为O(n)。

3. 均摊时间复杂度

 /* array 表示一个长度为 n 的数组
  代码中的 array.length 就等于 n */
 let array = new Array[n];

 function insert(val) {
    if (count == array.length) {
       let sum = 0;
       for (let i = 1; i < array.length; i++) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    count++;
 }

以上代码有两种情况：

当count不等于数组长度时，每次调用函数的时候，时间复杂度为O(1),这种情况出现的次数为n次；
当count等于数组长度时，调用函数时，走进for循环，此时时间复杂度为：O(n)
平均时间复杂度计算：

该例子较上面的例子的特殊之处在于，函数在大多数情况下的时间复杂度为O(1),而当最坏时间复杂度的时候出现的几率很小，这时候我们需要引入一种分析的方法叫：摊还分析法，通过该分析法得到的时间复杂度为均摊时间复杂度。

在上面的例子里，每一次O(n)的插入都会有n-1次时间复杂度为O(1)的插入，我们吧耗时多的这次的操作均摊到n-1次耗时少的上面，实际的均摊复杂度就为O(1)。
均摊复杂度的出现情况很少，可以把它认为是一种特殊的平均时间复杂度。它的应用场景都是在一系列连续操纵中，大部分情况复杂度低，个别复杂度高，这时候就可以平摊下来。而且，一般情况下，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

参考文档：
1：王争(前google工程师)专栏 ----《数据结构与算法之美》
2：《算法图解》------大O表示法部分