三维网格去噪算法（L0 Minimization）

[He et al. 2013]文章提出了一种基于L ₀ 范数最小化的三角网格去噪算法。该思想最初是由[Xu et al. 2011]提出并应用于图像平滑，假设c为图像像素的颜色向量，▽c为颜色向量的梯度，设置目标函数为：min _c |c – c*| ² + |▽c| ₀ ，其中|▽c| ₀ 为▽c的L ₀ 范数，c*为原始图像的颜色向量。通过引入辅助变量δ，优化函数变为：min _{c, δ} |c – c*| ² + β|▽c – δ| ² + λ|δ| ₀ ，其中λ用于控制最终图像的平滑程度。优化过程分两步：第一步固定c优化δ，即min _δ β|▽c – δ| ² + λ|δ| ₀ ；第二步固定δ优化c，即min _c |c – c*| ² + β|▽c – δ| ² 。然后循环迭代这两步，每次迭代中β乘以2，使得最终▽c ≈ δ。

当将L ₀ 范数最小化的思想应用于三角网格去噪时，网格顶点坐标p可以代替c，但是还需要设置一个离散微分算子来代替▽c，其满足网格平坦区域值为0，其中一个选择就是离散Laplacian算子。文章提出了一种应用于网格边的微分算子D(e)，其表达式为：

但是当有角度接近0时，微分算子的权重会变成inf，因此文章又提出了一种优化后的微分算子表达式：

微分算子D(e)中的符号说明

对于非均匀噪声网格，文章在优化过程中加入了正则化项R(e) = (p ₁ – p ₂ + p ₃ – p ₄ ) ² ，于是优化目标变为：min _{p, δ} |p – p*| ² + α|R(p)| ² + β|D(p) – δ| ² + λ|δ| ₀ ，其中p*为初始网格顶点坐标，D(p)代表与p相关的表达式，其第i项对应第i条边的微分算子，R(p)的第i项对应第i条边的正则项。同样优化过程分两步：第一步固定p优化δ，即min _δ β|D(p) – δ| ² + λ|δ| ₀ ，当 ，δ _i = 0，否则δ _i = D _i ；第二步固定δ优化p，即min _p |p – p*| ² + α|R(p)| ² + β|D(p) – δ| ² ，相当于求解稀疏矩阵方程组。然后循环迭代上述两个步骤直到达到预定条件。

效果：

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参考文献：

[1] Lei He and Scott Schaefer, "Mesh denoising via L0 minimization," ACM Trans. Graph. 32, 4, Article 64 (July 2013), 8 pages, 2013.
[2] Li Xu, Cewu Lu, Yi Xu, and Jiaya Jia, "Image smoothing via L0 gradient minimization," In Proceedings of the 2011 SIGGRAPH Asia Conference (SA '11). ACM, New York, NY, USA, , Article 174 , 12 pages, 2011.