UOJ#41. 【清华集训2014】矩阵变换 构造

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题解

首先写个乱搞：

一开始每一行都选择第一个非0元素，然后，我们对这个方案不断做更新，直到任意两行选择的值不同。更新方法：如果有两行选了相同的值，那么让靠前的那行选择后一个非0的值。

交上去。

过了。

wtf？

然后发现证明这个结论我花的时间远远大于AC这题QAQ

现在我们来证明一下：

首先，如果这个算法算出解了，那么肯定合法。这个比较显然就不证明了。

然后，我们来分两步证明一定有解。

接下来我们称让某一行找下一个非0元素这个操作为“弹出这一行的第一个元素”。

引理

假设当前状态下，我们在所有行选择的元素构成的集合为 S ；设若干次更新更新后的集合为 S' ，那么一定有： $S\subseteq S'$ 。

证明：每次至少有两个相同我们才让其中一个更新，所以这两行原先的值会被保留。所以满足这个引理。

接下来我们证明一个命题。

命题

在得到答案之前，1~n 中至少有一种数没有被作为某一行的第一个元素“弹出”过。

证明：如果任意两行选择的元素都不同，那么就得到方案了。在集合 S 中元素种类变成 n 的时刻，我们就得到了方案。设最后一次加入集合 S 的元素是 x ，那么在整个过程中， x 一定没有作为某一行的第一个元素被弹出过，所以命题得证。

因为在得到答案之前，1~n 中至少有一种数没有被作为某一行的第一个元素“弹出”过，而每一个元素在每一行都会出现一次。考虑那个没有被弹出过的元素，它保证了每一行都不会被弹光，所以一定有解，而且通过这个构造方法可以得到解。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))

#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)

#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)

#define pb push_back

#define mp make_pair

#define fi first

#define se second

#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')

#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)

#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")

#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")

#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\

						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");

using namespace std;

typedef long long LL;

LL read(){

	LL x=0,f=0;

	char ch=getchar();

	while (!isdigit(ch))

		f|=ch=='-',ch=getchar();

	while (isdigit(ch))

		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

	return f?-x:x;

}

const int N=405;

int T,n,m;

int a[N][N];

int p[N],id[N],cnt[N];

bool cmp(int a,int b){

	return p[a]<p[b];

}

int Getnxt(int i,int &p){

	while (!a[i][p]&&p<=m)

		p++;

	return p<=m;

}

void solve(){

	n=read(),m=read();

	clr(a),clr(p);

	For(i,1,n)

		For(j,1,m)

			a[i][j]=read();

	For(i,1,n)

		Getnxt(i,p[i]=1);

	while (1){

		clr(cnt);

		int flag=0;

		For(i,1,n){

			cnt[a[i][p[i]]]++,id[i]=i;

			if (cnt[a[i][p[i]]]>1)

				flag=1;

		}

		if (!flag)

			break;

		sort(id+1,id+n+1,cmp);

		For(i,1,n)

			if (cnt[a[id[i]][p[id[i]]]]>1){

				if (!Getnxt(id[i],++p[id[i]])){

					puts("\(^o^)/");

					return;

				}

				break;

			}

	}

	For(i,1,n)

		printf("%d ",a[i][p[i]]);

	puts("");

}

int main(){

	T=read();

	while (T--)

		solve();

	return 0;

}