正文
语言模型 Language Model (LM)
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定义
什么是语言模型，通俗的讲就是从语法上判断一句话是否通顺。即判断如下的概率成立：
\[p(\text{今天是周末})>p(\text{周末是今天})
\]
\]
链式法则(chain rule)
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)p(w_2|w_1)p(w_3|w_1,w_2)...p(w_n|w_1,w_2,...,w_{n-1})
\]
\]
Markov assumption
Markov assumption(first order)
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)p(w_2|w_1)...p(w_n|w_{n-1})=p(w_1)\prod_{i=2}^{n}p(w_i|w_{i-1})
\]
\]
Markov assumption(second order)
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)p(w_2|w_1)p(w_3|w_1,w_2)...p(w_n|w_{n-2},w_{n-1})=p(w_1)p(w_2|w_1)\prod_{i=3}^{n}p(w_i|w_{i-2},w_{i-1})
\]
\]
N-gram语言模型
我们基于上述的Markov assumption将n=1、n=2、n=3等模型进行说明
Unigram
n=1的情况下，是相对于first order markov assumption情况更简单的语言模型，其假设各个词之间时相互独立的，如下示：
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)=p(w_1)p(w_2)...p(w_n)
\]
\]
Bigram
n=2的情况下，即是Bigram语言模型，其来源于first order markov assumption，其考虑了词与词之间的先后顺序，如下所示：
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)p(w_2|w_1)...p(w_n|w_{n-1})=p(w_1)\prod_{i=2}^{n}p(w_i|w_{i-1})
\]
\]
trigram
n=3的情况下，即是Trigram语言模型，其来源于second order markov assumption，其考虑了当前词与其前面两个词的先后顺序关系，如下所示：
\[p(w_1,w_2,...,w_n)=p(w_1)p(w_2|w_1)p(w_3|w_1,w_2)...p(w_n|w_{n-2},w_{n-1})=p(w_1)p(w_2|w_1)\prod_{i=3}^{n}p(w_i|w_{i-2},w_{i-1})
\]
\]
基于上述情况，常用的也就是Bigram，Trigram相对计算复杂结果更准确，n>3的情况下目前相对较少。
如何训练语言模型
上述我们说明了n=1、2、3等情况下的语言模型，那如何训练计算中的各个单词的概率值呢？
一般情况下，我们是通过给定的训练语料经过分词后，统计各个词出现的频率(或者条件频率)进行计算的，即在Unigram语言模型中，我们计算单个词的概率，是拿该词出现的次数除以整个训练语料中词的个数；在Bigram语言模型中，计算 \(p(w_i|w_{i-1})\) 的值，则需要先计算 \(w_{i-1}\) 这个词出现的次数 \(C(w_{i-1})\) ，而后计算 \(w_{i-1}\) 词后出现 \(w_i\) 这个词的数目 \(C(w_i|w_{i-1})\) ，则
\[p(w_i|w_{i-1})=C(w_i|w_{i-1}) / C(w_{i-1})
\]
\]
Trigram的计算过程和上述基本一致，这里不再进行说明。
如何评估语言模型
perplexity
基本思想是，给测试集的句子赋予较高概率值的语言模型较好,当语言模型训练完之后，测试集中的句子都是正常的句子，那么训练好的模型就是在测试集上的概率越高越好。表达式为：
\[pp(s)=2^{-\frac{1}{N}\sum logp(w_i)}
\]
\]
上式中 \(logp(w_i)\) 是我们在测试集中计算各个单词的概率，比如Unigram即是单个词的概率，Bigram即是 \(p(w_i|w_{i-1})\) 的概率，依次类推。
smoothing
在计算各个概率的过程中，受限于语料集的问题，并不能涵盖所有的词，如果不做smoothing平滑的话，会导致某些词的概率为0，这种情况下不管其他词概率为多少，计算的结果均为0，这种情况违背了我们的初衷。解决此问题的方式是增加平滑项。
- Add-one smoothing
- Add-k smoothing
- Interpolation
- Good-turning smoothing
Add-one smoothing
计算公式如下所示：
\[P_{Add-1}(w_i|w_{i-1})=\frac{C(w_i|w_{i-1})+1}{C(w_{i-1})+V}
\]
\]
其中V是词库大小
Add-k smoothing
计算公式如下所示：
\[P_{Add-k}(w_i|w_{i-1})=\frac{C(w_i|w_{i-1})+k}{C(w_{i-1})+k*V}
\]
\]
Interpolation
Interpolation综合Unigram、Bigram、Thrigram等方法进行平滑
\[p(w_n|w_{n-1},w_{n-2})=\lambda_1 p(w_n|w_{n-1},w_{n-2})+\lambda_2 p(w_n|w_{n-1})+\lambda_3 p(w_n)
\]
\]
其中 \(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1\)
Good-turning smoothing
其主要思想是从概率的总量中分配少量的比例给零概率项。
假定给定的语料库中出现\(r\) 次数的词有 \(N_r\) 个，则有
\[N = \sum_{i=1}^{\infty }rN_r
\]
\]
当\(r\) 较小时，我们使用 \(d_r\) 代替 \(r\) ，这里 \(d_r < r\) ， \(d_r\) 的值可有下式表示
\[d_r = ( r+1 )N_{r+1}/N_r
\]
\]
其期望可以表示为
\[\hat{\theta }\left ( r \right )=\frac{1}{N}\left (r+1 \right )\frac{N_{r+1}}{N_r}
\]
\]
其中\(N\) 为现有语料库中所有单词频数的总和，这样可以保证
\[N = \sum_{r}^{ }d_rN_r
\]
\]
一般情况下，发生次数为\(r\) 的词个数大于发生次数为 \(r\) +1的词个数， \(r\) 越大，词的数量 \(N_r\) 越小。通过Good-turning smooth可以让数据稀疏度有效的降低，所有词的概率估计会看起来很平滑。
