关于莫比乌斯函数python的信息

莫比乌斯的个人简介

莫比乌斯，德国人，1790年11月出生，数学家，天文学家，被认为是拓扑学的先驱。莫比乌斯最著名的成就是发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称为莫比乌斯带。其他重要的成就包括在射影几何中引进齐次坐标系、莫比乌斯变换（Moebius Transformations），数论中的莫比乌斯变换（Moebius transform）、莫比乌斯函数、莫比乌斯反演公式（Moebius inversion formula）等等。

莫比乌斯最初学法学，1809年转向数学 。从1809年到1814年他在莱比锡大学学数学并获博士学位。1814年在莱比锡任天文学教师 。1815年他获得教授资格，一年后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测员。1846年他成为王家萨克森科学院建立成员之一。1848年他成为莱比锡天文台台长 。1868年9月26日逝世于莱比锡。莫比乌斯的父亲约翰·海因里希·莫比乌斯是南姆堡附近一个小镇上的舞蹈教师，他在莫比乌斯三岁时逝世。莫比乌斯的母亲是宗教改革领袖马丁·路德的后裔。

莫比乌斯的数学名著是1827年的《重心的计算》。[1-2] 该书引入了射影几何和仿射几何的若干基本概念，并以浅显易懂和清晰严格的论述表达了这一新的理论。他用齐次坐标表示空间的点，对于重量分别为a、b、c、d的四个点A、B、C、D给出了点系重心S的坐标关系式：（a+b+c+d）s=aA+bB+cC+dD。另外他引入了直射变换概念，即将直线变为直线的变换，接着证明了每一个直线变换都是一个射影变换。还指出射束中四条线的交比可以用顶点P处各个角的正弦来表示，并推出这个表示法的值与任何斜截线所得的四个点的交比是相同的，由此证明了交比在截影与投影下的不变性。

μ怎么读？

μ是希腊字母，英语音标注音：/mju:/

英文：mu

希腊字母源于腓尼基字母，腓尼基字母只有辅音，从右向左写，希腊语言元音发达，希腊人增添了元音字母。俄语、乌克兰语等使用的西里尔字母和格鲁吉亚语字母都是由希腊字母发展而来。

它的语源是希腊语 μικρός (mikrós)，代表符号是希腊字母μ (mu)。在只能用拉丁字母表达的情况下，国际单位制允许用字母u代替，比如um代替μm。在一些特定的场合，比如药房，微克经常记作mcg，然而这种记法并不符合标准。

μ代表：

1、数论中的莫比乌斯函数

2、表示模的环表示

3、概率论和统计学中总体的平均数或期望值

4、测度论中的一个测度

5、微, 一个国际单位制词头，表示 10-6（百万分之一）

6、物理学中的动摩擦因数

7、等候理论中的服务效率

8、物理学中的黏度

9、电磁学中的磁导率

10、μ子

11、约化质量

12、凝聚态物理学中的化学势

13、药理学中，使得与其结合的脑内啡有最高的亲和势的受体。

14、货币单位，约等于10万人民币

黎曼猜想到底是什么意思？

2018年，89岁高龄的菲尔兹奖得主迈克尔·阿蒂亚爵士举行了最后一次公开的数学报告：

这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个月，老爷子就溘然长逝。

这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破方向，这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。

但是，黎曼猜想：

  函数的所有非平凡零点的实部都是

到底说了什么，能让这位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它发起冲锋；让一代代的数学家为之魂系梦绕（大数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第一件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。

逝者安息，生者传承，下面就以我们的方式尽量数普一下黎曼猜想，把老爷子这份执着传递一二，把无数数学家的这份执着传递一二...

1 素数

大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数称为 素数（Prime Number），比如 2，3，5，7，11...

我们知道素数是无穷的（ 欧几里得定理 ），也可以通过 埃拉托斯特尼筛法 筛出有限个的素数：

但对于素数的整体了解依然非常少，素数似乎是完全随机地掺杂在自然数当中的一样，下面是1000以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877，881，883，887又突然连着出现4个素数，和10以内的素数个数一样多）：

别说素数的精确分布了，就是随机抽取一个足够大的自然数出来，要检验它是否是素数都需要经过一番艰苦的计算。

以研究素数为核心的数论，在数学家眼中就是：

你可能会有疑问，研究素数干嘛？可以改善生活吗？提高寿命吗？粮食增产吗？移民火星吗？

当然可以给出现实的理由，比如流行的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的一些理论。但是随着了解的深入，我发现对于数学家而言这些根本不重要，不足以构成驱使他们前进的动力。正如有人询问著名登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，马洛里回答道：“因为山在那里”：

数学家研究素数的理由很简单，因为它在那里。数论可能才是最纯粹的数学，才是数学的初心

2 素数计数函数

先根据之前给出的素数表绘制一个函数图像：

纵坐标表示的是 以内素数的 个数。比如从图像上可以看出：

这个意思就是10 以内有4个素数（我们知道分别是2，3，5，7）。这个  被称为 素数计数函数。（Prime-counting function）。

得到素数的精确分布目前还属于天方夜谭，数学家就退而求其次，想知道 到底是多少？这就是几千年来素数研究的核心问题。

3 素数定理

高斯和勒让德猜测：

后来又有改进的猜测：

把这三个函数图像放在一起，看上去好像确实可以看作近似，并且后者近似还要好一些：

这两个猜测尤其是后者，都可以称为 素数定理 （The Prime Theory），只是此时还没有证明。

4 《论小于一个给定值的素数的个数》

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一：

1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》：

这篇论文总共只有 9页 ，却可以名列最难读的论文之列（黎曼显然高估了阅读者的水平，其中不少结论都没有给出证明，因为他觉得不证自明、一目了然。但是事实是，比如其中证明的一小步，都花费了后人46年的时间才证明出来），同时又是素数研究领域最重要的一篇论文。

听这个论文的名字也知道这篇论文是关于 的，确实，在这篇文章中，黎曼居然给出了素数计数函数的准确表达式：

先不管这个函数的细节，看到没，黎曼压根就没有理会什么素数定理，直接给出了 的精确表达式，这就是王霸之气，不玩擦边球，来就直捣黄龙，解决主帅。

5 黎曼猜想

的表达式并不简单。想想也可以理解，要是初等数学就可以解决的问题，很可能早就被欧拉、高斯这两位数学守门员（形容不要想在这两位大神手里捡漏）给征服了。

重复一下， 长这样：

                                     

这个函数分为两部分：    

黎曼素数计数函数：就是式子中的 ，下面是它的代数表达式:

实际上是黎曼给出的对 的近似，也称作  黎曼素数计数函数  ，这个代数表达式的含义之后会细说

修正项：也就是：

                                                                            

 称为莫比乌斯函数，具体的代数表达式如下：

整个式子的意思: 通过修正项调整之后，黎曼给出的素数计数函数 就完全等于 。

5.1  函数与非平凡零点

要把 介绍清楚，先得引入一个   函数:

                                                

为什么自变量用 ，不用 呢？因为这是定义在复数域上的函数，即 ，而复数域习惯用 来表示自变量（之前介绍过，实数的问题如果解决不了， 可以尝试升维到复数中去 ）。

如果尝试解下面与  函数相关的方程：

                                                                          

这个方程的解有无数多个，可以分为两类：

1.平凡解： ，也就是所有负偶数。这个解看上去就比较简单，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做 函数的平凡零点。

2.非平凡解： ，也就是复数解。这类解就很复杂，现在都没有求出所有的解，而且估计求出这所有解的难度不亚于求出素数的精确分布，目前只是通过暴力运算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做 函数的 非平凡零点。

至此，黎曼猜想中最重要的两个名词都出现了： 函数、非平凡零点。

5.2 黎曼素数计数函数

好，回头再来看 :

            

这个函数有4部分：

1. :这个是之前提到过的，关于 的一个近似

2. :    就是指的 函数的非平凡零点，就是把所有非平凡零点的   加起来

3. :   这是一个常数

4.  :     越大，这项越趋近于0，在时取得最大值 ，也不是很重要

之前也说了， 本身就是对 的近似，从下面动图也可以看出，越多的非平凡零点 参与运算（通过暴力计算得到）， 越贴合 ，近似效果比素数定理要好得多：

5.3 黎曼猜想

通过上面的分析，如果可以知道 函数的所有非平凡零点 ，那么就可以得到精确的 。但是非平凡零点 求解的难度似乎不亚于得到素数精确分布的难度，怎么办？

如果知道 的范围也可以（下面 表示 的实部）：

1. 如果 :那么素数定理成立，这已经被证明了，历史上素数定理最初也是据此证明出来

2.如果 : 其实就是黎曼猜想的另外一种描述。

如果黎曼猜想成立的，那就可以证出：

                                                        

也就是知道素数定理中的 到底与真正的 有多大的误差。

证明了黎曼猜想就在素数分布上进了一大步。但这只是开始，离真正的素数分布还差得很远。

6 《素数之恋》

希望大家读完这篇文章可以对黎曼猜想有一个粗糙的了解，当然还有很多的疑问：

         函数的非平凡零点 怎么就和素数的分布有关系？

         函数是怎么扩张到复数域的？

        为什么黎曼会猜想 ？

         怎么就长那个样子？

         定义成这样有什么动机？

        关于非平凡零点 目前我们知道哪些？

        .......

你可以把这篇文章看作一个大纲，或者《素数之恋》的读书笔记，所有的细节基本上都可以在这本书中找到。这本书也是我觉得写得最好的关于黎曼猜想的书。

7 写在后面的

黎曼这篇天才论文开辟了一个时代，其中很多结论虽然未经证明，但对于数学家这不啻于一座宝藏。

黎曼其人，出生贫寒，又遇上欧洲动荡、秩序重建，贵族自身难保，使得他很难像以往天才数学家一样可以获得贵族的资助。贫病交加之下黎曼40岁就因肺结核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得长一些，说不定黎曼猜想就可以在他自己手中解决。不过不管怎样，素数的秘密，正如希尔伯特所说，“我们必须知道，我们必将知道”：

原文链接  马同学高等数学-黎曼猜想到底是什么意思?

关于莫比乌斯反演(Mobius Inversion)的证明，需详细解释

用乘法分配率把每一个m(d)分配进每个g(d')，然后再重新提取每一个g(d') 而前面的系数为m(d)，其中d满足d | (n/d')

所以这些加起来就是sigma[ d | n/d' ] ( m(d) )

举个例子当 n = 10

d = 1 d‘ = 1,2,5,10 m(1)g(1) + m(1)g(2) + m(1)g(5) + m(1)g(10)

d = 2 d‘ = 1,5 m(2)g(1) + m(2)g(5)

d = 5 d' = 1,2 m(5)g(1) + m(5)g(2)

d = 10 d' = 1 m(10)g(1)