2017 计蒜之道 初赛 第三场 D. 腾讯狼人杀 (点边都带权的最大密度子图)

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点边都带权的最大密度子图,且会有必须选的点.

求\(\frac{\sum w_e}{k*(2n-k)}\)的最大值,其中k为子图点数

设$$h(g) = \sum w_e - g*(2nk-k^2)$$

假设最优解为\(g*\),则当\(g<g*\)时,\(h(g)>0\);\(g>g*时,h(g)<0\),以此判断条件二分搜索.

但是\((2nk-k^2)\)不能直接转化为点权,需要做点改变.

这个式子的意义等于对原图的每一条边都加上了边权2g,若原图两点间没有边,则新建一条权值为2g的边. 每个点的点权为\((2ng-g)\)

这样就转化成了点边均带权的最大密度子图模型.

还有一些必须要选的点.因为在最大权闭合子图的模型中,若源点S与点i之间的边不是割,则表示没有选择这个点.根据这个性质,我们在建图的时候对必须选的点,只从源点S向它建边,容量为正无穷,保证它不会成为割中的边.然后在总的流量中加上这个点的点权.

第二十组数据特别卡精度,但是eps设得过高会T.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN= 405;//点数的最大值
const int MAXM= 1e6 + 10;//边数的最大值
#define captype double
struct Edge{
int from,to,next;
captype cap;
};struct SAP_MaxFlow{
Edge edges[MAXM];
int tot,head[MAXN];
int gap[MAXN];
int dis[MAXN];
int cur[MAXN];
int pre[MAXN]; void init(){
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void AddEdge(int u,int v,captype c,captype rc=0){
edges[tot] = (Edge){u,v,head[u],c}; head[u]=tot++;
edges[tot] = (Edge){v,u,head[v],rc}; head[v]=tot++;
}
captype maxFlow_sap(int sNode,int eNode, int n){//n是包括源点和汇点的总点个数，这个一定要注意
memset(gap,0,sizeof(gap));
memset(dis,0,sizeof(dis));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
pre[sNode] = -1;
gap[0]=n;
captype ans=0;
int u=sNode;
while(dis[sNode]<n){
if(u==eNode){
captype Min=INF ;
int inser;
for(int i=pre[u]; i!=-1; i=pre[edges[i^1].to])
if(Min>edges[i].cap){
Min=edges[i].cap;
inser=i;
}
for(int i=pre[u]; i!=-1; i=pre[edges[i^1].to]){
edges[i].cap-=Min;
edges[i^1].cap+=Min;
}
ans+=Min;
u=edges[inser^1].to;
continue;
}
bool flag = false;
int v;
for(int i=cur[u]; i!=-1; i=edges[i].next){
v=edges[i].to;
if(edges[i].cap>0 && dis[u]==dis[v]+1){
flag=true;
cur[u]=pre[v]=i;
break;
}
}
if(flag){
u=v;
continue;
}
int Mind= n;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
if(edges[i].cap>0 && Mind>dis[edges[i].to]){
Mind=dis[edges[i].to];
cur[u]=i;
}
gap[dis[u]]--;
if(gap[dis[u]]==0) return ans;
dis[u]=Mind+1;
gap[dis[u]]++;
if(u!=sNode) u=edges[pre[u]^1].to; //退一条边
}
return ans;
}
}F;int N, M ;
double d[MAXN];
int tag[MAXN];
int G[405][405];#define U (400 * 2100)bool check(double g)
{
int s = 0, t = N+1;
F.init();
double flow = 0;
for(int i=1;i<=N;++i){
d[i] = 0.0;
for(int j=1;j<=N;++j){
if(i==j) continue;
d[i] += 2*g + G[i][j];
F.AddEdge(i,j,G[i][j] + 2*g);
}
} for(int i=1;i<=N;++i){
if(tag[i]){
flow += U + 2*g*(2*N-1) - d[i];
F.AddEdge(s, i, INF);
}
else{
F.AddEdge(s,i,U);
F.AddEdge(i,t, U + 2 * g * (2*N - 1) - d[i]);
}
} double hg = (U*N - flow - F.maxFlow_sap(s,t,t+1)) * 0.5;
return hg > eps;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
int u,v,w;
scanf("%d %d",&N, &M);
for(int i=1;i<=M;++i){
scanf("%d %d %d",&u, &v, &w);
G[u][v] = G[v][u] = w;
}
for(int i=1;i<=N;++i){
scanf("%d",&tag[i]);
}
double L = 0, R = 200, mid;
while(R - L >= eps){
mid = (L+R) * 0.5;
if(check(mid)) L = mid;
else R = mid;
}
printf("%.6f\n",(L+R)*0.5);
return 0;
}