【BZOJ 2510】 2510: 弱题（矩阵乘法、循环矩阵的矩阵乘法）

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2510: 弱题
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Description
有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有a_i个，并保证Σa_i = M。
每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）
现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。
Input
第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。
第2行包含N个非负整数a_i，表示初始标号为i的球有a_i个。
Output
应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。
Sample Input
2 3 2
3 0
Sample Output
1.667
1.333
HINT
【样例说明】
第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。
第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。
【数据规模与约定】
对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；
对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；
对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；
对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；
对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。
Source
2011福建集训

【分析】

综合题表里面目测的一道【稀少的】可做题。。

显然，矩阵乘法嘛。。$f[i][j]=f[i-1][j]*\dfrac{m-1}{m}+f[i-1][j-1]*\dfrac{1}{m}$

然后一个厉害的东西就是A,B是循环矩阵（就是矩阵的下一行是上一行循环右移一位得到的），那么A*B=C的C也是循环矩阵。

只需求第一行就可以求出整个C。

所以是$n^2 log$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Maxn 1010 int a[Maxn];
int n,m,k; struct node
{
double w[Maxn][Maxn];
}t[]; void mul(int x,int y,int z)
{
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++) t[].w[i][j]=;
for(int k=;k<=n;k++)
for(int j=;j<=n;j++)
t[].w[][j]+=t[y].w[][k]*t[z].w[k][j];
for(int j=;j<=n;j++) t[x].w[][j]=t[].w[][j];
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
t[x].w[i][j]=t[x].w[i-][j-==?n:j-];
}
} void qpow(int b)
{
for(int i=;i<=n;i++) for(int j=;j<=n;j++) t[].w[i][j]=;
for(int i=;i<=n;i++) t[].w[i][i]=1.0;
while(b)
{
if(b&) mul(,,);
mul(,,);
b>>=;
}
} int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++) t[].w[i][j]=;
t[].w[i][i]=1.0-1.0/m;
t[].w[i][i-==?n:i-]=1.0/m;
}
qpow(k);
for(int i=;i<=n;i++)
{
double ans=;
for(int j=;j<=n;j++)
{
ans+=a[j]*t[].w[i][j];
}
printf("%.3lf\n",ans);
}
return ;
}